ANT
MODELLO VETTORIALE
 
il MODELLO VETTORIALE è l'insieme delle abilità (che verranno IMPLEMENTATE nel sistema di controllo di ANT) sufficienti per il comportamento di homing di un agente che si orienta in base ad una fonte di luce e consente di stimare:
1 la DIREZIONE che dovrebbe avere la luce (o la luce polarizzata) rispetto al sistema di riferimento egocentrico (dal punto di vista dell'agente) perché l'agente sia allineato con la direzione del punto di partenza;
2 la DISTANZA fra il punto attuale ed il punto di partenza.
 
   
   

Vedremo ora la descrizione dettagliata dell MODELLO VETTORIALE
   
RICORDIAMO CHE:
   
    L'AGENTE COLLOCA SE' STESSO NELLO SPAZIO RISPETTO ALLA FONTE DI LUCE.
     
   

LA DIREZIONE DELLA LUCE E' DA CONSIDERARSI PARALLELA IN OGNI PUNTO (così come la direzione del piano polarizzato determinato dalla luce del sole per la formica del deserto)
     
   
   
Figura 1. Riquadro a sinistra: traiettoria di due vettori. S: fonte di luce proiettata sul piano bidimensionale dell'agente. SE: sistema di riferimento egocentrico. d: direzione della fonte di luce rispetto al sistema di riferimento egocentrico. Riquadro a destra: proprietà associativa applicata alla somma vettoriale delle direzioni della fonte di luce in traiettorie con più di due vettori.
     
   

Si consideri la figura 1. Il riquadro a sinistra mostra una traiettoria formata da due vettori. In alto a sinistra con L è contrassegnata la fonte di luce proiettata sul piano dell'azimut. La luce si trova ad una distanza tale per cui la sua direzione può essere considerata parallela in ogni punto del piano, proprio come l'azimut del sole. La parte in basso del riquadro mostra le direzioni della fonte di luce rispetto al sistema di riferimento egocentrico x, ovvero dal punto di vista dell'agente. SEa è il sistema di riferimento egocentrico nell'istante t=0, quando l'agente ha direzione a, mentre da è la direzione della luce in quell'istante. Lo stesso dicasi per SEb. SEa+b mostra come la direzione della luce rispetto al sistema di riferimento egocentrico allineato con la direzione che collega il punto di partenza con quello di arrivo, si ottiene sommando vettorialmente le direzioni della luce rispetto agli altri due sistemi di riferimento (da e db rispetto a SEa e SEb) allineati con le direzioni dei due vettori a e b. La proprietà che consente di fare ciò è la proprietà commutativa della somma vettoriale o regola del parallelogramma.
Nel caso di traiettorie complesse formate da più di due vettori (figura 1 - riquadro a destra), applicando la proprietà associativa della somma vettoriale, in ogni istante la somma è fra la direzione della fonte di luce attuale e il vettore risultante dalla somma delle direzioni della luce degli istanti precedenti, sempre rispetto al sistema di riferimento egocentrico.
     
   
Per ritornare al punto di partenza l'agente dovrebbe allineare la percezione attuale della fonte di luce, disponibile grazie al sistema percettivo, con la risultante della somma vettoriale delle direzioni precedenti.
     
   

In questo modo però avrebbe il punto di partenza alle sue spalle: ruotando di 180° la direzione del vettore risultante della somma vettoriale delle direzioni precedenti ed allineando successivamente quella attuale con essa, si troverebbe con il punto di partenza dritto avanti a sé.
     
   
Basterebbe, a questo punto, che procedesse mantenendo tale allineamento e giungerebbe fino al punto di partenza.
     
    Il vettore risultante dalla somma associativa, sarà chiamato vettore aspettativa. In effetti si tratta proprio di qualcosa di atteso, che non è presente nella realtà percettiva, ma che è disponibile per essere utilizzato per allinearsi con la direzione di ritorno. Il vettore che indica la direzione della fonte di luce rispetto al sistema di riferimento egocentrico (da e db in figura 1) sarà chiamato vettore percezione, in quanto rappresenta la direzione della fonte di luce così come è percepita. Il vettore che rappresenta la direzione della traiettoria dell'agente in ogni istante sarà chiamato vettore traiettoria.
     
   
   
Figura 2. Il vettore aspettativa da+db dipende anche dalla norma dei vettori da e db. Le righe sottili si riferiscono al caso in cui i vettori traiettoria a e b abbiano norma uguale.
     
    Fino ad ora, si è supposto che la norma dei vettori direzione relativi agli istanti discreti fosse sempre la stessa, ovvero che l'agente avesse la stessa velocità in ogni istante. Si supponga ora che l'agente abbia velocità variabile. Per questo è necessario aggiungere la velocità al modello, espressa come norma del vettore traiettoria relativo ad un determinato istante. A tal proposito si consideri la figura 2. Essa mostra una traiettoria semplice, costituita da due vettori a e b. La situazione è analoga a quella di figura 1, riquadro in alto, ma questa volta il vettore b ha una norma maggiore del corrispondente della figura 1. Si osservi come, mutando la norma del vettore traiettoria b, muta la direzione del vettore aspettativa. Pertanto la direzione del vettore aspettativa dipende anche dalla velocità dell'agente; in altre parole la direzione della fonte di luce a cui allinearsi per poter tornare al punto di partenza dipende, oltre che dalla direzione della fonte di luce in ogni istante, rispetto al sistema di riferimento egocentrico, anche dalla velocità dell'agente in ogni istante, espressa come la norma del vettore traiettoria (a, b), relativo a quell'istante.
La norma del vettore traiettoria in ogni istante (a, b), la velocità effettiva dell'agente, sarà anche la norma del vettore percezione nel medesimo istante (da, db). In tal modo la direzione del vettore aspettativa (da+db) è direttamente influenzata dalla velocità, come mostra la porzione Sea+b della figura 2 (linea tratteggiata). Anche il valore della norma del vettore aspettativa è importante, in quanto la somma fra tale vettore ed il vettore percezione successivo è influenzata direttamente da essa come lunghezza di un lato del parallelogramma, la cui diagonale sarà il vettore aspettativa successivo. Si osservi, inoltre, che la norma del vettore aspettativa è direttamente proporzionale alla norma del vettore a+b di figura 1 e 2, proprio in base alla definizione della norma dei vettori percezione (da+db in figura 1 e 2). Questo significa che il modello vettoriale può stimare anche la distanza, nel senso che, procedendo nella stessa direzione la norma del vettore aspettativa aumenta, mentre procedendo nella direzione opposta rispetto alla precedente la norma del vettore aspettativa diminuisce, in quanto la direzione dei vettori percezione è opposta nei due casi.
     
   
   
Figura 3. Quando l'agente inizia il percorso di homing dal punto attuale C al punto di partenza S, la norma del vettore aspettativa (EXP) diminuisce progressivamente, sommando in modo associativo i vettori percezione (dah, dbh, dch) con l'avvicinamento al punto di partenza S. ah, bh, ch: vettori traiettoria. dah, dbh, dch: direzione della luce rispetto al sistema di riferimento egocentrico (vettori percezione). EXP: vettore aspettativa.
   

 
    Supponiamo ora che l'agente debba tornare dal punto attuale al punto di partenza. Ha a disposizione nella memoria locale la direzione a cui allinearsi per trovarsi il punto di partenza di fronte (vettore aspettativa ruotato di 180°); basterà che l'agente proceda mantenendo tale allineamento per giungere al punto di partenza. Inoltre, il MODELLO VETTORIALE consente anche di stimare la DISTANZA RESIDUA dal punto di partenza. Come si vede in figura 3, continuando a sommare il vettore percezione (dah, dbh, dch, ...) durante il ritorno in modo associativo al vettore aspettativa (EXP) la norma del vettore aspettativa diminuirà, fino ad essere zero in prossimitò del punto di partenza (S).
     
   

ALGORITMO del modello vettoriale di homing.
     
   
1
 Nell'istante t=0 la direzione della fonte di luce a cui l'agente deve allinearsi per avere il punto di partenza avanti a sé (vettore aspettativa) è esattamente quella che percepisce ruotata di 180 gradi. La norma di tale vettore è uguale a quella del vettore relativo alla traiettoria, ovvero la velocità nell'istante t=0;
   
   
2
 nell'istante t=1 la direzione del vettore aspettativa è il vettore direzione della fonte di luce percepita nell'istante precedente (vettore percezione) sommata vettorialmente a quello relativo alla direzione percepita nell'istante attuale. La norma del vettore percezione è uguale alla norma del vettore relativo alla traiettoria (vettore traiettoria), cioè alla velocità dell'agente nell'istante t=1. La norma del vettore aspettativa è uguale alla diagonale del parallelogramma i cui lati sono i due vettori percezione. Anche in questo caso il vettore aspettativa deve essere ruotato di 180 gradi perché l'agente, allineando la sua percezione della direzione attuale della luce con quella del vettore aspettativa, si trovi ad avere il punto di partenza davanti a sé.
   
   
3
 nell'istante t=2, per la proprietà associativa della somma vettoriale, la direzione del vettore aspettativa è il vettore aspettativa calcolato in t=1 più il vettore percezione nell'istante attuale t=2. La norma del vettore percezione dell'istante t=2 è uguale alla norma del vettore traiettoria, ovvero alla velocità nell'istante t=2.
   
   
4

nell'istante t=n, sempre per la proprietà associativa, la direzione del vettore aspettativa attuale (t=n) è uguale alla somma vettoriale fra il vettore aspettativa nell'istante t=n-1 e il vettore percezione che ha norma uguale alla norma del vettore traiettoria, ossia la velocità nell'istante t=n.
     
     
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